**Die Rentenbeiträge – Besondere Barwerte**
**Ewige Rente**
Eine ewige (unendliche) Rente ist ein Zahlungsstrom, der unendlich lange gleichbleibende Beträge C liefert. Der Barwert einer unendlichen Rente wird wie folgt berechnet:
PV= C/r
Dabei wird angenommen, dass die erste Rentenzahlung (nachschüssige Rentenzahlung) am Ende des ersten Jahres erfolgt.
**Ein Beispiel zur Veranschaulichung:**
Welchen Betrag müsste man heute anlegen, damit bei einem Zinssatz von r = 10 % jedes Jahr 1 Mrd. EUR an Zinserträgen zur Verfügung stehen (Steuern und weiteres ausgenommen)?
PV=1Mrd/0,1=10Mrd
Daher müsste man heute 10 Milliarden anlegen, um jedes Jahr 1 Milliarde zu erhalten.
Was wäre jedoch, wenn man erst nach vier Jahren auf das Geld zugreifen würde?
PV=1/(1,1)^3 •10Mrd=7,51
Das bedeutet, man müsste heute 7,51 Milliarden anlegen, um sich in vier Jahren 1 Milliarde auszahlen lassen zu können.
**Ein weiteres Thema, das relevant ist:**
Warum ist es sinnvoll, die gesetzliche Rente so früh wie möglich an den Kapitalmarkt (ein Renditeprodukt) anzuschließen? Jedes Jahr werden etwa 100 Milliarden Dollar zusätzlich in die Rente eingezahlt. Welchen Barwert müsste man investieren, wenn man einen Zinssatz von 8 % annimmt (Annahme MSCI World) und eine Vorlaufzeit von 5, 6 oder 7 Jahren hat?
PV=100 Mrd/0,08=1,25 Billionen
Es würde 1,25 Billionen kosten, wenn man keine Vorlaufszeit hat. Was passiert jedoch, wenn man das Geld erst später nutzen möchte?
PV=100/(1,08)^4 •1250=918 Mrd,
PV=100/(1,08)^5 •1250=850 Mrd,
PV=100/(1,08)^6 •1250=787Mrd
Mit einer Vorlaufszeit von 7 Jahren würde man also nur 787 Milliarden jährlich benötigen, um die aktuelle Rentenlücke zu schließen. (Das Beispiel dient nur zum Verständnis. Es ist sehr vereinfacht und lässt viele reale Bedingungen außer Acht.) Dieses Investment von 787 Milliarden würde sich nach 11 Jahren amortisieren.
**Endliche Rente**
Eine Rente, auch Annuität genannt, ist eine Reihe von gleich hohen Zahlungen C über einen bestimmten Zeitraum. Beispiele dafür sind Annuitätendarlehen oder Immobilienkredite. Der Barwert einer endlichen Rente kann als Differenz zweier unendlicher Renten berechnet werden. Die Formel lautet:
PV=C•[1/r - 1/r•(1+r)^t]
Der Ausdruck in den eckigen Klammern wird auch als Rentenbarwertfaktor bezeichnet.
**Beispiel:**
Wie hoch ist der Barwert, wenn man in den kommenden fünf Jahren (nachschüssig) jährlich 5.000 EUR für ein Auto bezahlen muss und ein Diskontierungszins von 7 % gilt?
PV=5000•[1/0,07 - 1/0,07•(1+0,07)^5]=20.501
Man würde also 20.501 EUR bezahlen, bereinigt um die Zeit.
**Ein weiterer Anwendungsfall:**
Ein Konsumentenkredit in Höhe von 1.000 EUR soll über vier Jahre (nachschüssig) vollständig getilgt werden. Wie hoch ist die jährliche Rückzahlung (Annuität), wenn ein Zinssatz von 10 % vereinbart wurde?
PV=Annual loan payment • (year annuity factor)=1000 =>
Annual loan payment=1000/(4 year annuity factor)=1000/ [1/0,1 - 1/0,1•(1,1)^4]=315,47
Die jährliche Zahlung, einschließlich Zinsen, beträgt 315,47 EUR. Die Zinszahlungen werden dabei immer kleiner und die Tilgung nimmt zu.
**Ein weiterer Anwendungsfall:**
Eine Immobilienkreditsumme von 250.000 EUR soll bei einem Zinssatz von 12 % über die nächsten 30 Jahre in einem Annuitätendarlehen komplett zurückgezahlt werden. Wie hoch ist die konstante (jährliche) Annuität?
Amp=250000/[1\0,12 - 1/0,12•(1,12)^30]=31036
Man müsste also jährlich 31.036 EUR zurückzahlen.
**Wachsende Rente**
Bei einer wachsenden Rente stellt sich die Frage, wie das Kapital weiter wächst und dennoch regelmäßige Auszahlungen ermöglicht. Zur Veranschaulichung nehmen wir folgendes Beispiel: Wenn die Rente im ersten Jahr 100 Mrd. EUR auszahlen möchte und diese Auszahlungen dann jährlich um 4 % steigen sollen, wie viel Geld muss heute zu einem Zinssatz von 10 % angelegt werden?
PV=100Mrd/0,1-0,04= 1.666 Billonen
Man müsste also 1.666 Mrd. EUR anlegen, um eine wachsende Rente zu haben. Möchte man jedoch erst in sieben Jahren auszahlen, wie viel müsste man dann anlegen?
V=100Mrd/0,1-0,04 / (1,1)^6= 940,78 Mrd
Um 100 Mrd. EUR für die Rente zu erhalten, die jährlich zusätzlich um 4 % wächst, müsste man nur 940,78 Mrd. EUR anlegen. Dieses Investment würde sich nach 18 Jahren amortisieren.
**Fazit:**
Die Lehre hieraus ist nicht, dass man seine Rente an den Aktienmarkt binden sollte, sondern dass eine Rente mit Rendite sich langsam, aber stetig selbst abbezahlen würde.
Diesmal gibt es kein Quiz, aber die Frage nach eurer Meinung: Was denkt ihr von der Rente und wie würdet ihr sie angehen?
**Sneak Peak: Das wichtigste über Anleihen**
**Quelle:**
Brealey, R., S. Myers, F. Allen, A. Edmans (2022): *Principles of Corporate Finance*, 14. Auflage, McGraw Hill, ISBN 1260013901 und Vorlesungsfolien
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